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适用课程: 解析几何(201127040)【访问量:61731】
解析几何

第1章 向量代数

重点:

1.向量的概念,线性运算法则,基本定理。

2.仿射标架及内积的概念,用坐标作向量的线性运算及内积运算。

3.向量的外积的概念,外积的运算规律;用坐标计算向量的外积。

4.二重外积公式,混合积的运算规律,用坐标计算向量的混合积。 

难点:

1.向量组的线性相关、线性无关的理解。

2.仿射标架的概念。

3.向量的外积的概念,用坐标计算向量的外积。

4.二重外积公式。 

向量是既有大小又有方向的量。平行移动过程中的向量是一样的。向量的线性运算是指向量间的加法及数与向量的乘法。

基本定理1:给定两个不共线的向量 是平面上的任何一个向量,则 唯一表示,即存在唯一的一对实数 使得

从几何意义上说:以平面上的任何一个向量 为对角线,沿向量 可作唯一的一个平行四边形。

基本定理2:给定三个不共面的向量 是空间中的任何一个向量,则 唯一表示,即存在唯一的三数组 使得

从几何意义上说:以空间中的任何一个向量 为对角线,沿向量 可作唯一的一个平行六面体。

向量组的线性相关性从几何意义的角度讲, 个向量的向量组能放到低于 维的空间中就是线性相关,否则就是线性无关。比如,向量个数超过其维数的向量组必定是线性相关的。两个空间向量线性无关就是不共线,三个空间向量线性无关就是不共面。

空间仿射标架由一个点和三个不共面的向量组成。平面仿射标架由一个点和两个不共线的向量组成。空间直角坐标系是一个特殊的仿射标架,要求三个不共面的向量是两两互相垂直(正交)的单位向量。23维的仿射标架的定向只有两个:左手系和右手系,应用中通常使用右手系。

向量间的运算有线性运算,内积(数量积),外积(向量积)和混合积。

外积的运算要注意它的反交换律,没有结合律,有二重外积公式: 由于向量的性质与坐标系的选取无关,所以公式的证明可选一个特殊的坐标系,用坐标法,通过计算两边的向量就知道成立。

利用向量的内积,外积和混合积可以判定向量间的一些基本关系:

向量 垂直的充要条件是

向量 共线的充要条件是

向量 共面的充要条件是

用坐标计算向量间的运算:设在空间仿射标架 下,向量 实数 ,则

在右手直角标架下: