拓扑学
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教学大纲

拓朴学是近代数学的重要分支,也是近代数学的基础。它的思想、方法和理论已渗透到数学的几乎所有分支,同时它在物理、化学、计算机科学以及生物等领域有重要的应用。“拓朴学”是大学数学系的一门重要的专业基础课,也是学生学习现代数学所需的一门重要的基础课。

拓扑学具有多个分支,丰富的内容。作为本科生的一门一学期课程,其内容的取舍与编排有较多的选择。纵观国内外已有的拓扑学教材,其风格也是多种多样。

四川大学从事拓扑学的研究与教学已有很长的历史,形成了自己的风格与特点。本教学大纲内容结合我校在拓朴学教学与研究方面长期形成的特色以及今后的发展,注重科研对教学的渗透,融教学科研为一体,培养学生形成科学的思维方法与研究意识。

课程名称拓朴学

开课学期学年的第二学期

教学目的掌握一般拓朴学的基本知识,学习处理拓朴学问题的基本方法。了解拓朴学与其他一些学科的联系,强化抽象思维与逻辑推力,提高数学素养,为进一步学习奠定基础

时间安排417周(共68学时,内容讲授约60学时,问题讲解约8学时)

使用教材拓朴学基础梁基华,蒋继光著),高等教育出版社,2005

成绩评定习题30%,考试70%

第一章  集,映射与序结构6-8学时)

1.基本内容

作为准备,本章介绍有关集合的基本概念,可数集与不可数集的有关结果。集合的交,并,补,笛卡儿积,商集运算极其性质,刻画。选择公理和Zorn引理。映射极其基本性质,偏序集的有关概念和结果,保序映射,序同构。

2.基本要求

1) 熟练应用集合的各种运算,尤其是笛卡儿积和商集的构造。熟悉可数集的基本性质。

2)了解选择公理与等价的引理,并能在证明中正确应用。

3)掌握映射的基本性质

4)了解偏序集,保序映射,定向与可滤,上,下确界,格与完备格的概念

3.建议课时安排

(如果有一定集合论基础,6学时,否则8学时)

a) 集合及其运算(2学时)

b) 映射及其性质(1学时)

c) 序论基础(2学时)

d)笛卡儿积与选择公理(1学时)

第二章  拓朴空间14学时)

1.基本内容

拓朴空间的定义,开集,闭集。生成拓朴的各种方法。基,邻域,闭包,内部极其刻画。正规,正则分离性。连续映射极其等价刻画,同胚映射与拓朴性质。网与滤子的收敛,相互关系。乘积空间,映射的乘积和乘性问题。

2. 基本要求

本章是拓朴学最基础的内容,要求理解,熟悉本章的各种概念及其相互联系。熟练应用生成拓朴的各种方法,了解几个具体的拓朴空间。理解分离性和可数性及其等价刻画。

3建议课时安排14学时)

a)拓朴空间,开集,基,邻域(2学时)

b)闭包,内部与分离性(3学时)

c)连续映射与同胚(3学时)

d)网与漉子的收敛(3学时)

e)乘积空间(3学时)

第三章  几类重要的拓朴空间14学时)

1.基本内容

度量空间,度量拓朴,基本性质。可度量化空间,完备度量空间。正规性和完全正则性,

Uryson引理和Tietze扩张定理。收缩映射与绝对收缩映射,Tychonoff嵌入定理。紧空间极其基本性质,紧度量空间的刻画与性质。紧化理论。

2.基本要求

这一章是一般拓朴学的经典内容,在数学的其他学科也有着重要的应用。因此要求理解这几类空间的定义,等价刻画,基本性质以及相互联系。

3.建议学时数14学时)

a)度量空间(4学时)

b) 具有函数分离性的空间(3学时)

c)紧空间与紧化(4学时)

d)连通与道路连通空间(3学时)

第四章  拓扑与代数结构——基本群12学时)

1.基本内容

商空间和商映射,各种经典的几何曲面的商空间刻画。闭曲面的构造。基本群的建立及其基本性质。道路与同伦提升定理。几类基本空间的基本群的计算。代数基本定理和Brower不动点定理的证明

2.基本要求

理解商空间和商映射的概念,掌握利用商空间粘和曲面的方法。了解用代数学方法处理拓朴学问题的基本思想。了解基本群及其基本性质,以及简单空间的基本群的计算方法

3.建议学时数12学时)

a)商空间与各种曲面的制作(4学时)

b)基本群的概念与性质(2学时)

c)覆盖空间(3学时)

d)基本群的计算与应用(3学时)

第五章  拓朴与序结构 12学时)

1.基本内容

分配格与连续格极其刻画,拓朴与序结构的有机联系。局部紧空间及其性质,以及与连续格的相互联系。分配格和布尔代数的拓朴表示定理。Stone空间的刻画

2.基本要求

了解处理拓朴学问题的另一种方法,拓朴与序结构之间的有机联系。

3.建议学时数12学时)

a)具有分配性的格(3学时)

bSober空间与特殊序(3学时)

c)局部紧空间(3学时)

dStone 对偶理论(3学时)