常微分方程
适用课程: 常微分方程(201004040)【访问量:85289】
课程描述

课程历史发展沿革

常微分方程(Ordinary Differential Equations), 是本科数学专业的核心基础课程,是学习泛函、偏微、微分几何等课程的基础,是数学在工程技术中发挥作用的拳头之一。内容包括:微分方程建模、初等积分法、线性系统、常系数线性系统、若干振动问题、一般理论、定性理论初步。授课对象:数学学院本科二年级学生。

    自Newton , Leibniz 创立微积分以来, 人们就开始研究微分方程。从最初的初等求解技巧到今天日益发达的数值模拟技术, 从早期对方向场的理解到今天关于微分方程定性理论、分岔理论的成熟知识体系, 三百多年的历史使这门数学分支不仅成为了数学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一, 而且成为数学以外学科最为关注的领域之一。它的发展极大地推动了力学技术、电子技术、生物技术等诸多领域的发展,尤其是地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控制的设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预测等等, 微分方程为之提供了关键技术支撑。反过来这些高新技术也推动了微分方程理论走向纵深, 从过去对平衡点、周期轨道等的定性研究到今天对非局部分岔、高余维分岔的分析判定, 微分方程在理论和方法上正经历着一个新的跨越。

理论课教学内容

四川大学以创建国际知名、国内一流的研究型大学为办学目标。四川大学数学学院以培养高素质创新性研究型数学人才为目标。《常微分方程》是数学学院数学类学生公共平台课程,是本科基础课程和核心课程。培养学生动手能力和初步的科研能力。

数学学院不仅有数学基地班提前批次录取的优秀学生,也有进入创新班学习的学生,因此《常微分方程》课程定位为:承上启下,联系实际,面向前沿。目标是融合“数学分析”和“高等代数”两大基础并为学生开启进一步学习泛函、偏微、拓扑等科目的思路,一方面让课程内容紧贴工程实际,使学生从生活中去体悟教学的内容,另一方面让课程内容面向学科前沿、面向科研热点、面向新时代。

教学条件

我们的《常微分方程》教材系国家名牌课程项目支持教材,已被列入普通高等教育“十一五”国家级规划教材,并得到微分方程界的著名专家、北京大学教授张芷芬的审阅和作序。我们力图通过教材来形成我们的教学特色,即加强构造积分因子技巧的训练并将计算首次积分同计算Hamilton能量函数以及构造Liapunov函数的需要联系在一起;加强常数变易法和微分不等式的内容并与进一步学习非线性微分方程的渐近性态联系在一起;加强Euler指数函数法和特征理论并与微分方程平衡点分类联系在一起;加强Picard逼近的思想并与微分方程数值解法以及动力系统中的迭代行为联系在一起。

我们用这四条主线将整个体系前后串在一起,注意减轻习题的计算量而着重突出思想与结构,适当增加开放式思考和设计解决方案、编写计算程序的“动手环节”,而且还利用一些知识点(例如解空间与通常见到的欧氏空间的区别、特征根对复系统的要求、算子解法的算子的描述等等)引发读者对数学高年级课程的兴趣,促使读者将微分方程同数学的整个知识体系联系起来学习。我们的目的是使该教材成为一本适合于四川大学这类研究型大学教学的、符合二十一世纪学科发展趋势的新教材。

教学方法

 

在教学方法方面,我们灵活使用多种教学方法,着重注意以下几个方面:

一、按照我们的教学思想,设计当前时期基本不变的教学大纲,而对大纲每部分的教案逐年改进翻新,使教学资料形成动态的积累,使之成为一项有组织的“工程建设”。

二、以自编教材《常微分方程》为主,结合美国经典教材《Elementary Differential Equations with Linear Algebra》(A.L.Rabenstein编, Harcourt Brace Jova. Publ., New York, 1982)和参考书《Ordinary Differential Equations》(V.I. Arnold,编, MIT Press, Boston, 1973),开展双语教学,部分定理及证明用英文表述,指定部分内容让学生参考英文资料。这样不仅符合当前学生英文水平实际,而且培养学生对文献资料的关注和寻找,更快捷地走进国际学术发展的潮流。